\begin{equation*}
\mathscr{L}[g(t)] = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-st}g(t)\,dt
\end{equation*}
\begin{equation*}
= \int\limits_{0}^{a} e^{-st}g(t)\,dt +\int\limits_{a}^{\infty} e^{-st}g(t)\,dt
\end{equation*}
\begin{equation*}
= \int\limits_{0}^{a} e^{-st}.0\,dt +\int\limits_{a}^{\infty} e^{-st}f(t-a)\,dt
\end{equation*}
\begin{equation*}
= \int\limits_{0}^{\infty} e^{-s(h+a)}.f(h)\,dh = e^{-as} \int\limits_{0}^{\infty}f(h)\,dh
\end{equation*}
\begin{equation*}
= e^{-as}F(s)
\end{equation*}
[put \(t-a =h\)]